依据我国相关法律的规定，盗窃一千是会构成盗窃罪的，如果犯罪分子是属于累犯的，要加重处罚。

《最高人民法院 最高人民检察院关于办理盗窃刑事案件适用法律若干问题的解释》第一条　盗窃公私财物价值一千元至三千元以上、三万元至十万元以上、三十万元至五十万元以上的，应当分别认定为刑法第二百六十四条规定的“数额较大”、“数额巨大”、“数额特别巨大”。